Aritmetická progrese

Problémy s aritmetickým vývojem existovaly již ve starověku. Objevili se a požadovali řešení, protože měli praktickou potřebu.

Takže v jednom z papyrů starověkého Egypta,mající matematický obsah, - na Rhind papyrus (XIX století před naším letopočtem) - obsahuje takový problém: rozdělit deset opatření obilí pro deset lidí, za předpokladu, je-li rozdíl mezi každým z nich je jedna osmina z opatření ".

A v matematických pracích starých Řekůexistují elegantní věty týkající se aritmetické progrese. Takže Hypsicles Alexandria (II století před naším letopočtem), ve výši mnoha zajímavých úkolů a přidal čtrnáct knih na „začátek“ Euclid formuloval názor: „V aritmetické posloupnosti, které mají sudý počet členů, množství členů ve druhé polovině více než součet členů 1- číslem, které je násobkem čtverce 1/2 počtu slov. "

Vezmeme libovolnou sérii kladných celých čísel (větší než nula): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., která se nazývá číselná sekvence.

Označuje sekvenci a. pořadová čísla se nazývají své členy a jsou obvykle označovány písmeny s indexy, které označují pořadové číslo prvku (a1, a2, a3 ... číst: «první», «druhý», «3-mytí“ a tak dále ).

Sekvence může být nekonečná nebo konečná.

A jaký je aritmetický postup? Chápe se jako pořadí čísel získaných přidáním předchozího čísla (n) se stejným číslem d, což je rozdíl v postupu.

Pokud d <0, pak máme klesající postup. Pokud d> 0, potom se takový postup považuje za rostoucí.

Aritmetický postup je považován za konečný, pokud se berou v úvahu jen některé z jeho prvních termínů. S velkým počtem členů je to nekonečný pokrok.

Libovolná aritmetická progrese je dána následujícím vzorcem:

a = kn + b, přičemž b a k jsou nějaká čísla.

Prohlášení, které je naopak, je naprosto pravdivé: jestliže je sekvence dána podobným vzorcem, pak je to přesně aritmetický postup, který má vlastnosti:

1. Každý člen progrese je aritmetickým prostředkem předchozího a následujícího.
2. Naopak: pokud je počínaje druhým členem aritmetický průměr předchozího a následujícího, tj. pokud je podmínka splněna, potom je tato sekvence aritmetickým průběhem. Tato rovnost je také znakem progrese, proto se zpravidla nazývá charakteristickou vlastností progrese.
   Stejně tak věta, která to odrážívlastnost: sekvence je aritmetický průběh pouze tehdy, pokud je tato rovnost pravdivá pro některý z podmínek sekvence, počínaje druhým.

Charakteristickou vlastností jakákoliv čísla pro čtyři aritmetické posloupnosti může být vyjádřena + hod = ak + al, v případě n + m = k + l (m, n, k - počet progrese).

Při aritmetické progresi lze nalézt jakýkoli nezbytný (N-th) termín použitím následujícího vzorce:

a = a1 + d (n-1).

Například: první termín (a1) v aritmetické progresi je uveden a rovný třem a rozdíl (d) se rovná čtyřem. Najděte patnáctý člen tohoto postupu. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Vzorec an = ak + d (n - k) nám umožňuje určit n-tému termínu aritmetické progrese prostřednictvím kteréhokoli z jeho k-th výrazů za předpokladu, že je známo.

Součet termínů aritmetické progrese (my máme na mysli první n termíny konečné progrese) se vypočítává následovně:

Sn = (al + an) n / 2.

Pokud je rozdíl mezi aritmetickou prognózou a prvním termínem znám, pak je pro výpočet vhodný jiný vzorec:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Součet aritmetické progrese, který obsahuje n pojmy, se vypočítá takto:

Sn = (al + a) * n / 2.

Výběr vzorce pro výpočty závisí na podmínkách úloh a počátečních datech.

Přírodní řada libovolných čísel, například 1,2,3, ..., n, ... je nejjednodušší příklad aritmetické progrese.

Vedle aritmetického postupu je také geometrická progrese, která má své vlastnosti a vlastnosti.