Komplexní čísla. Význam a vývoj "imaginárních veličin"

Čísla jsou základní matematické objekty,nezbytné pro různé výpočty a výpočty. Součet přirozených, celočíselných, racionálních a iracionálních číselných hodnot tvoří soubor tzv. Reálných čísel. Existuje však také spíše neobvyklá kategorie - komplexní čísla, která René Descartes definuje jako "fiktivní hodnoty". A jedním z vedoucích matematiků z osmnáctého století navrhl Leonard Euler označit je písmenem i z francouzského slova imaginare (imaginární). Co jsou složitá čísla?

Takzvané výrazy formy a + bi, ve kterých aa b jsou reálná čísla a i je digitální indikátor zvláštní hodnoty, jehož čtverec je -1. Operace na složitých číslech se provádějí stejnými pravidly jako různé matematické operace na polynomiálech. Tato matematická kategorie nevyjadřuje výsledky jakýchkoli měření nebo výpočtů. Chcete-li to provést, stačí mít reálná čísla. Proč tedy opravdu potřebují?

Komplexní čísla, jako matematický pojem,jsou nezbytné, protože některé rovnice s reálnými koeficienty nemají řešení v oblasti "obyčejných" čísel. V důsledku toho, aby se rozšířil rozsah řešení nerovností, bylo nutné zavést novou matematickou kategorii. Komplexní čísla, která mají především abstraktní teoretickou hodnotu, umožňují vyřešit takové rovnice jako x² +1 = 0. Je třeba poznamenat, že navzdory své zdánlivé formality tato kategorie čísel poměrně aktivní a je široce používán, například řešit řadu praktických problémů teorie elasticity, elektrotechniky, aerodynamiky a hydromechaniky, atomové fyziky a dalších vědeckých oborů.

Modul a argument složitého čísla se používajípři vytváření grafů. Tato forma psaní se nazývá trigonometrická. Geometrická interpretace těchto čísel dále rozšířila rozsah jejich použití. Bylo možné je použít pro různé kartografické výpočty.

Matematika přišla daleko od nejjednoduššíchpřírodních čísel až po složité komplexní systémy a jejich funkce. Na toto téma můžete napsat samostatnou učebnici. Zde uvážíme pouze některé evoluční momenty teorie čísel, aby byly jasné všechny historické a vědecké předpoklady pro vznik dané matematické kategorie.

Starověcí řečtí matematici byli zvažováni"Skutečné" výlučně přirozená čísla, která mohou být použita k počítání cokoliv. Již ve druhém tisíciletí př.nl. e. starověkých Egypťanů a Babylonů v různých praktických výpočtech aktivně používané frakce. Dalším významným milníkem ve vývoji matematiky byl vzhled záporných čísel ve starověké Číně dvě stě let před naší dobou. Oni byli také používáni starověkým řeckým matematikem Diophantus, kdo znal pravidla nejjednodušších operací na nich. Pomocí záporných čísel bylo možné popsat různé změny v množství nejen v pozitivní rovině.

V sedmém století naší doby byla přesně stanovena,že čtvercové kořeny pozitivních čísel mají vždy dvě hodnoty - kromě pozitivních i negativních. Z druhého z nich bylo považováno za nemožné extrahovat druhou odmocninu obvyklými algebraickými metodami té doby: neexistuje hodnota x taková, že x² = ─ 9. Dlouho to na tom nezáleželo. Teprve v šestnáctém století, kdy tam byli a byli aktivně studoval kubické rovnice, že je třeba získat druhé odmocniny záporných čísel, jako ve vzorci pro řešení těchto výrazů obsahuje nejen krychli, ale i druhé odmocniny.

Takový vzorec je bezchybný, pokud rovnice nemávíce než jeden skutečný kořen. V případě přítomnosti tří skutečných kořenů v rovnici, když byly vyléčeny, bylo získáno číslo s negativní hodnotou. Ukázalo se tedy, že způsob, jak získat tři kořeny, spočívá v operaci, která není možná z hlediska matematiky té doby.

Vysvětlit výsledný paradoxItalský algebraista J. Cardano byl požádán, aby představil novou kategorii čísel neobvyklé povahy, které byly nazývány komplexní. Zajímavé je, že Cardano sám o sobě považoval za zbytečné a jakkoli se snažil vyhnout se použití stejné matematické kategorie, kterou navrhl. Ale již v roce 1572 se objevila kniha dalšího italského algebraisty Bombelli, kde byly podrobně popsány pravidla operací složitých čísel.

Během celého sedmnáctého století,diskuse o matematické povaze těchto čísel a možnostech jejich geometrického výkladu. Rovněž byla postupně rozvíjena a zlepšována technika práce s nimi. A na přelomu 17. a 18. století vznikla obecná teorie komplexních čísel. Velkým přínosem pro vývoj a zlepšení teorie funkcí komplexních proměnných představili ruští a sovětští vědci. Muskhelishvili zabývá ve své aplikaci na problematiku teorie pružnosti, které Keldysh a Lavrentiev komplexní čísla byla použita v oblasti hydro- a aerodynamiky a Vladimír Bogolyubov - v kvantové teorii pole.